사각 단면 덕트 층류 유동 벤치마크에 대한 Boreas 해석 결과 검증입니다. 균일 유입 (U_mean = 0.03 m/s, 덕트 변 길이 D = 0.05 m → Re_Dh ≈ 100, 층류)이 하류로 갈수록 완전발달 프로파일로 접근합니다.

이론해

완전발달 속도 프로파일은 압력구배로 구동되는 정사각 단면 덕트 층류의 고전 급수해로 주어집니다(직사각 덕트 Poiseuille 유동, Shah & London 1978):

u(y, z) = (16 b² / (μ π³)) · (−dp/dx) ·
          Σ_{n=1,3,5,...} [(−1)^((n−1)/2) / n³] · [1 − cosh(nπz/2b)/cosh(nπb/2b)] · cos(nπy/2b)

(2b = 덕트 변 길이, 정사각이므로 두 변이 같음, μ = 점성계수) — 초등함수로는 안 닫히는 무한급수입니다. 0.9 m 측정선에서 중심 최대유속/평균유속 비(U_max/U_mean ≈ 2.09, 그래프상 0.062/0.03)가 이 급수해의 정사각 덕트 알려진 값과 일치해, 이 지점에서는 이미 완전발달에 도달했음을 보여줍니다.

완전발달 구간의 마찰계수는 다음 상수로 요약됩니다(정사각 단면, Shah & London 1978):

f_D · Re_Dh = 56.91        (Darcy 마찰계수 기준)
Δp/L = f_D · ρ·U_mean² / (2·D_h)

다만 위 "축 방향 압력 분포" 그래프는 유입부를 포함한 발달구간이라, 압력강하율이 이 완전발달 점근값보다 입구 쪽에서 더 크게 나타나다가 하류로 갈수록 수렴합니다 — 발달구간의 정확한 보정계수(f_app·Re, Shah & London 1978 도표 기반)는 이 문서에서 재현하지 않았으니, 정확한 재현이 필요하면 검증 담당 엔지니어에게 원 계산 근거 확인을 요청하세요.

케이스 설정

사각 덕트 유동의 계산 영역 및 경계조건 — 변 길이 D = 0.05 m 정사각 단면, 균일유속 U_mean = 0.03 m/s 유입

유입부는 단면 전체에 걸쳐 균일한 U_mean = 0.03 m/s로 들어오고, 벽면 no-slip 조건 때문에 하류로 갈수록 벽 쪽부터 감속되며 속도 프로파일이 서서히 포물선형(정확히는 위 급수해 형태)으로 바뀝니다 — 이 변화가 "발달구간(entry length)"입니다.

결과

Boreas 해석의 속도 분포 결과 및 유속 측정선 위치

축 방향(z) 속도 w의 색분포를 보면, 유입부 근처(왼쪽)는 단면 전체가 균일한 색으로 채워져 있다가 하류로 갈수록 중심부(빨강, 고속)와 벽 근처(파랑, 저속)가 뚜렷이 갈라지는 것을 확인할 수 있습니다 — 점선으로 표시한 0.9 m 지점에서는 이미 이 분리가 축 방향으로 더 이상 변하지 않는 완전발달 상태에 도달해 있습니다.

사각 덕트 축 방향 압력 분포 및 이론해 비교

압력은 하류로 갈수록 거의 선형으로 떨어지지만, 입구 쪽 곡선의 기울기가 하류(완전발달 구간)의 기울기보다 눈에 띄게 더 가파릅니다. 이는 위 이론해에서 설명한 "발달구간 초과압력강하" 효과 그대로입니다 — 유동이 아직 포물선형으로 자리잡기 전이라, 운동량 분포가 재배치되는 데 드는 추가 압력이 완전발달 마찰계수(f_D·Re_Dh = 56.91)만으로 설명되는 값보다 더 크게 나타납니다.

0.9m 측정선에서의 U 속도

0.9 m 지점의 단면 속도 프로파일은 Boreas 결과(검은 선)와 이론 급수해(빨간 점)가 거의 겹칩니다. 중심 최대유속(≈0.062 m/s)과 평균유속(0.03 m/s)의 비가 앞서 이론해에서 언급한 정사각 덕트 완전발달 값(≈2.09)과 일치해, 이 측정선에서는 유동이 이미 완전발달에 도달했음을 다시 한번 확인할 수 있습니다.