자유로운 균일 봉은 가열해도 응력이 생기지 않고 길이만 늘어납니다. 같은 열팽창을 축방향으로 완전히 막으면 변형 대신 압축응력이 생깁니다. 이 케이스는 열변형률이 구조 구성식에 올바르게 들어가고, 기계적 변형률과 구분되어 처리되는지 검증합니다.

무엇을 검증하는가

• 기준온도와 온도차 $\Delta T$ 의 처리
• 등방성 선형 열팽창 변형률
• 변위 구속이 반력과 압축 열응력으로 변환되는 과정
• 온도장 직접 지정(imposed temperature) 경로

문제 구성

균일한 봉 전체에 $\Delta T=100$ K의 온도상승을 직접 부여합니다. 양단은 축방향으로 구속하고, 측면에는 대칭 roller 조건을 적용해 횡방향 자유팽창을 허용합니다. 최종 온도는 균일한 400 K입니다.

기준 해

구속이 없다면 선형 열변형률은 다음과 같습니다.

$$\varepsilon_{th}=\alpha\Delta T$$

축방향 전체 변형률은 기계적 변형률과 열변형률의 합입니다.

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}+\alpha\Delta T$$

완전구속으로 $\varepsilon_x=0$ 이므로

$$\sigma_x=-E\alpha\Delta T$$

가 됩니다. 음수 부호는 가열된 봉의 팽창을 막을 때 압축응력이 발생한다는 뜻입니다. 이 문제는 횡방향 팽창을 허용한 단축 구속이므로, von Mises 등가응력은 $|\sigma_x|$ 와 같습니다.

결과

온도와 열응력이 모두 이론값과 정확히 일치합니다. 이는 단순한 탄성 변형뿐 아니라 기준온도, 열팽창계수, 온도차, 구속조건이 하나의 구성식 안에서 일관되게 결합됐음을 보여줍니다.

실무적 의미

구속 배관, 열간 끼워맞춤, 전동기 하우징과 지지구조처럼 온도 변화에도 자유롭게 팽창할 수 없는 구조물의 열응력 평가에 연결됩니다. 실제 모델에서는 구속 강성과 온도구배가 추가되므로, 이 결과가 가장 단순한 완전구속 한계를 제공합니다.

참고문헌

• Boley, B. A. and Weiner, J. H. Theory of Thermal Stresses — 선형 열탄성 구성식.

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