이론해 대비 검증 — 정준 케이스 8종 · Indux Mechanical

최종 수정: 2026-08-03 읽기 약 9분

Verification vs Validation

이 문서는 Verification(검증) — "방정식을 올바르게 푸는가?" — 에 해당합니다. 지배방정식을 Indux Mechanical이 수학적으로 정확히 푸는지, 문헌에 발표된 닫힌해(closed-form solution) 및 메시 수렴차수로 판정하며 실험이 필요하지 않습니다. 실측 데이터와 비교해 모델이 실제 물리를 얼마나 잘 대변하는지 확인하는 **Validation(검사)**은 후속 단계입니다.

검증 구성

총 8개 케이스, 4개 물리 영역(구조 4 · 열전달 2 · 열응력 1 · 열-구조 커플링 1)으로 구성했습니다.

도구: Gmsh 4.12.2(메시 생성) · SU2 메시 포맷 · Indux Mechanical(MSVC/VS2022) · MKL PARDISO/FGMRES
합격 기준: 매끄러운(non-singular) 검증량 기준 상대오차 |ε| < 1%, 메시 수렴차수 p_obs ≈ 2
판정량 선택 원칙: BC 접합 코너·구속 모서리·mesh-star 중심 같은 특이점의 단일 최댓값은 신뢰하지 않고, 대신 내부값·중앙값·프로파일로 판정
결과: 8/8 PASS

Case 1 — Tension Bar (단축 인장)

Tension Bar 경계조건

3D 사각봉의 단축 인장. 한쪽 면 완전구속(FIXED), 반대쪽 면에 인장 표면하중 $\sigma$ = 1 MPa를 부여한 균일 단축 응력장입니다. 이론값은 $\sigma_x = F/A$ 와 $\delta_x = \sigma_x L / E$ 로 계산합니다.

검증량	이론	FEM	오차
평균 von Mises $\sigma$	1.000e6 Pa	9.95e5 Pa	−0.50%
축방향 변위 $\delta_x$	5.00e-7 m	4.98e-7 m	−0.40%
횡방향 변위 $\delta_y, \delta_z$	±7.50e-9 m	±7.63e-9 m	+1.73%

응용: 솔버 파이프라인(Gmsh → SU2 → 해석) sanity check, 인장 부재·로드·볼트 축력 평가.

Case 2 — Lamé Cylinder (후벽 실린더 내압)

Lamé Cylinder 경계조건

내압을 받는 후벽 원통(내경 a=0.05m, 외경 b=0.1m). 1/4 모델 + 대칭 roller, plane strain 조건이며, 압력/구속 접합 코너 특이점을 피해 매끄러운 반경 변위 $u_r(a)$ 로 검증합니다.

Lamé Cylinder 변위 분포

검증량	이론	FEM	오차
$u_r(a)$	4.767e-7 m	4.755e-7 m	−0.25%

메시 수렴 관측차수 $p_{obs}$ 는 약 1.8~2로 이론과 일치합니다. 응용: 압력용기, 유압 실린더, 베어링·부싱 압입, 회전자 슬리브.

Case 3 — Plate with Hole (응력집중, Kirsch 해)

인장을 받는 판+원공의 응력집중계수(SCF). 1/4 모델, plane stress 조건이며 구멍 가장자리 (매끄러운 자유경계)의 최대 응력이 이론상 $3\times$ 원격응력이 되는 Kirsch 해를 검증량으로 씁니다.

검증량	이론	FEM	오차
SCF( $K_t = \sigma_{\theta,max} / \sigma_0$ )	3.00	2.92 → 2.99	−2.7% → −0.3%

메시 세분에 따라 단조 수렴(12.7% → 4.3% → 0.34%)합니다. 응용: 볼트홀, 냉각수 통로, 하우징 개구부 등 구멍·노치 주변 응력집중 피로 설계.

Case 4 — Rotating Disk (원심력)

Rotating Disk 경계조건

회전 ( $\omega$ = 1000 rad/s) 솔리드 원판의 원심 body force. 1/4 모델 + 대칭 roller, plane stress 조건이며 중심에서 등2축(equibiaxial) 응력이 최대가 됩니다.

Rotating Disk 변위 분포

Rotating Disk von Mises 응력 분포

검증량	이론	FEM	오차
중심 $\sigma_{vM}(r)$	3.238e7 Pa	3.236e7	<0.3%
림 변위 $u_r(b)$	6.869e-7 m	6.951e-7	+1.2%

VM(r) 프로파일이 전 반경에서 이론과 <0.3% 일치합니다. 응용: 회전자(로터)·플라이휠· 임펠러·디스크의 원심 응력 평가.

Case 5 — Fin Convection (대류 열전달)

Fin Convection 경계조건

Ambient 조건 핀의 대류 열전달. BASE 등온 400K, 측면 4면 대류(h=169 W/m²K, T∞=300K), 팁 단열 조건이며, 1D 확장표면 이론 $T(L) = T_\infty + (T_b - T_\infty)/\cosh(mL)$ 과 비교합니다.

검증량	이론	FEM	오차
팁 온도 $T_{tip}$	331.03 K	331.03	~0%

축방향 전 구간 프로파일이 $\cosh$ 해와 <0.1% 일치합니다. 응용: 전동기 하우징 방열 성능 평가, 방열핀·히트싱크 설계.

Case 6 — 1D Heat Conduction (정상 전도)

1D Heat Conduction 경계조건

양단 등온(400K/300K) 경계의 정상상태 열전도. 선형 온도장이 이론해입니다.

검증량	이론	FEM	오차
$T_{min}$ / $T_{max}$ / $T_{avg}$	300 / 400 / 350 K	300 / 400 / 350 K	exact

응용: 열전도 기본 검증, 벽·판 두께방향 열류 평가.

Case 7 — Thermal Stress Bar (구속봉 열응력)

Thermal Stress Bar 경계조건

균일 온도상승 $\Delta T$ 를 받는 축방향 구속 봉. 온도 imposed(=100K), 양단 축구속 + 측면 대칭 roller(측방향 자유팽창) 조건이며, 단축 열응력 $\sigma = -E\alpha\Delta T$ 와 비교합니다.

검증량	이론	FEM	오차
균일 온도	400 K	400 K	0.0%
von Mises $\sigma$	2.4e8 Pa	2.4e8 Pa	0.0%

응용: 구속 배관, 열간 끼워맞춤, 구속 구조물에서 발생하는 열응력.

Case 8 — Coupled Thermal Stress (열-구조 커플링)

Coupled Thermal Stress 경계조건

열해석으로 온도장(한 면 400K + 나머지 단열 → 균일 400K)을 풀어 구조해석으로 전달하는 one-way(Heat → FEA) 커플링입니다. Case 7의 imposed $\Delta T$ 결과와 완전 동일해야 커플링이 온도장을 정확히 전달함을 확인할 수 있습니다.

검증량	이론	FEM	오차
열해석 $T$	400 K (균일)	400 K	exact
구조 $\sigma_{vM} = E\alpha\Delta T$	2.4e8 Pa	2.4e8 Pa	~0%

Case 7과 완전 동일한 값이 나와 커플링 경로 자체의 정확성을 확인했습니다. 응용: 전동기 하우징의 열-구조 연성(발열 → 온도장 → 열팽창 → 응력) 파이프라인.

결과 요약

Case	케이스	검증량	이론	FEM	오차
1	Tension Bar	평균 von Mises $\sigma$	1.000e6 Pa	9.95e5 Pa	−0.50%
1	Tension Bar	축방향 변위 $\delta_x$	5.00e-7 m	4.98e-7 m	−0.40%
2	Lamé Cylinder	내측 반경 변위 $u_r(a)$	4.77e-7 m	4.76e-7 m	−0.21%
3	Plate with Hole	최대 응력 $\sigma_{xx}$	3.00e6 Pa	3.03e6 Pa	+1.00%
4	Rotating Disk	원주방향 응력 $\sigma_\theta(b)$	1.373e7 Pa	1.365e7 Pa	−0.58%
5	Fin Convection	끝단 온도 $T_{tip}$	331.03 K	330.98 K	−0.015%
6	1D Conduction	$T(x=0.05)$	350 K	350.00 K	0.00%
7	Thermal Stress Bar	von Mises 응력	2.4×10⁸ Pa	2.4×10⁸ Pa	0.00%
8	Coupled Thermal Stress	von Mises 응력	2.4×10⁸ Pa	2.4×10⁸ Pa	0.00%

8개 케이스 모두 합격 기준(|ε| < 1%, 메시 수렴차수 $p_{obs} \approx 2$ )을 충족했습니다. 실측 데이터 대비 Validation은 후속 단계로 진행할 예정입니다.