회전체에서는 각 재료점에 반경 방향 원심 체적력이 작용합니다. 이 케이스는 단순 표면하중이 아니라 밀도와 회전속도에서 계산되는 body force가 요소 전체에 올바르게 적분되는지, 그리고 그 하중으로 생기는 축대칭 응력·변위장을 정확히 재현하는지 검증합니다.

무엇을 검증하는가

• 밀도 $\rho$ 와 각속도 $\omega$ 로부터 계산되는 원심 체적력
• plane stress 상태의 반경응력과 원주응력
• 1/4 모델의 대칭조건과 자유 외주 경계
• 회전축에서의 정칙성 및 반경 방향 변위 후처리

문제 구성

외반경 $b$ 인 균일한 솔리드 원판을 $\omega=1000$ rad/s로 회전시킵니다. 얇은 원판의 plane stress 조건을 사용하고, 1/4 모델의 절단면에는 대칭 roller 조건을 적용합니다. 외주는 하중이 없는 자유경계입니다.

기준 해

균일한 등방성 탄성 원판의 응력 분포는 다음과 같습니다.

$$\sigma_r(r)=\frac{\rho\omega^2}{8}(3+\nu)(b^2-r^2)$$ $$\sigma_\theta(r)=\frac{\rho\omega^2}{8} \left[(3+\nu)b^2-(1+3\nu)r^2\right]$$

외주에서는 $\sigma_r(b)=0$ 이 되어 자유경계를 만족하고, 중심에서는 $\sigma_r(0)=\sigma_\theta(0)$ 인 등2축(equibiaxial) 상태가 됩니다. 반경 변위는

$$u_r(r)=\frac{\rho\omega^2r}{8E} \left[(3+\nu)(1-\nu)b^2-(1-\nu^2)r^2\right]$$

이며, 림에서는 $u_r(b)=\rho\omega^2b^3(1-\nu)/(4E)$ 로 단순화됩니다. 응력은 $\omega^2$ 에 비례하므로 회전속도의 단위나 변환 오류에도 민감한 검증입니다.

결과

von Mises 응력 프로파일은 전 반경에서 이론해와 0.3% 이내로 일치합니다. 림 변위는 1.2%로 근소하게 1% 기준을 넘지만, 응력 프로파일과 함께 보면 체적력과 축대칭 응력장의 재현은 안정적입니다.

실무적 의미

전동기 회전자, 플라이휠, 임펠러와 디스크의 원심 응력 평가에 직접 연결됩니다. 실제 회전체에는 축공, 재료 이방성, 접촉과 회전 불균형이 추가되므로 이 결과는 그 복잡성을 더하기 전의 기준선입니다.

참고문헌

• Young, W. C. and Budynas, R. G. Roark's Formulas for Stress and Strain — 회전 원판의 탄성 해.

정준 검증 8개 케이스 요약 보기