원공이 있는 판은 형상 불연속 때문에 공칭응력보다 큰 국부 응력이 생기는 대표 문제입니다. 해가 공간적으로 급하게 변하지만 구멍 경계 자체는 매끄러워, 요소가 응력구배를 얼마나 정확히 재현하고 메시 세분에 따라 이론해로 수렴하는지 시험하기 좋습니다.

무엇을 검증하는가

• 자유 표면에서 traction-free 조건이 만족되는지
• plane stress 구성식과 1/4 대칭 경계
• 응력 성분의 좌표 변환과 구멍 둘레 후처리
• 국부 응력집중과 메시 세분에 따른 단조 수렴

문제 구성

무한 평판에 가까운 충분히 넓은 판의 중앙에 반경 $a$ 인 원공을 두고, 멀리서 단축 인장 $\sigma_0$ 를 가합니다. 형상과 하중의 대칭성을 이용해 1/4 모델로 구성하고 plane stress 조건을 적용합니다.

기준 해

Kirsch 해에서 구멍 경계 $r=a$ 의 반경응력과 전단응력은 0이고, 원주응력은 다음과 같습니다.

$$\sigma_{rr}(a,\theta)=0, \qquad \tau_{r\theta}(a,\theta)=0$$ $$\sigma_{\theta\theta}(a,\theta) = \sigma_0\left(1-2\cos 2\theta\right)$$

$\theta$ 를 하중축에서 측정하면 $\theta=\pi/2$ 에서 최대 원주응력은 $3\sigma_0$ 입니다. 따라서 이론적인 탄성 응력집중계수는

$$K_t = \frac{\sigma_{\theta\theta,max}}{\sigma_0}=3$$

입니다. 이는 재료 비선형이나 균열 끝 특이점이 아니라 매끄러운 원공 형상만으로 생기는 유한한 응력집중이므로, 메시 수렴을 정량적으로 판정할 수 있습니다.

결과

메시를 세분할수록 오차가 12.7% → 4.3% → 0.34%로 단조 감소합니다. 가장 거친 메시에서 국부 최댓값을 충분히 포착하지 못하더라도, 구멍 둘레를 세분하면 이론값 3에 접근하는 정상적인 수렴 거동을 보입니다.

실무적 의미

볼트홀, 냉각수 통로, 하우징 개구부와 같은 구멍·노치 주변의 응력집중 및 피로 설계에 연결되는 검증입니다. 실제 설계에서는 최고응력 값만 보지 말고 해당 위치의 메시 민감도도 함께 확인해야 한다는 점을 보여줍니다.

참고문헌

• MIT OpenCourseWare, Stresses Around a Circular Hole — Kirsch 해와 $K_t=3$ 유도.

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