후벽 원통은 얇은 원통의 막응력 근사로 다룰 수 없고, 반경에 따라 응력과 변위가 달라집니다. 이 케이스는 곡면 압력하중, 원통좌표계의 응력 분포, 대칭 경계와 plane strain 구성식을 함께 검증합니다.

무엇을 검증하는가

• 내벽 법선 방향 압력하중의 부호와 크기
• 반경응력 $\sigma_r$ 과 원주응력 $\sigma_\theta$ 의 공간 변화
• 긴 원통을 나타내는 plane strain 조건
• 1/4 대칭 모델의 roller 경계
• 선형 요소에서 기대되는 변위의 메시 수렴차수

문제 구성

내반경 $a = 0.05$ m, 외반경 $b = 0.1$ m인 후벽 원통에 내압 $p_i$ 를 적용합니다. 외압은 0이며, 1/4 단면의 두 절단면에는 대칭 roller 조건을 둡니다. 축방향 변형률이 0인 충분히 긴 원통을 가정해 plane strain으로 계산합니다.

기준 해

축대칭 Lamé 해의 반경응력과 원주응력은 다음 꼴입니다.

$$\sigma_r(r) = A - \frac{B}{r^2}, \qquad \sigma_\theta(r) = A + \frac{B}{r^2}$$

내압만 있는 경우 상수는 다음과 같습니다.

$$A = \frac{p_i a^2}{b^2-a^2}, \qquad B = \frac{p_i a^2b^2}{b^2-a^2}$$

인장응력을 양수로 두면 내벽에서 $\sigma_r(a)=-p_i$ , 외벽에서 $\sigma_r(b)=0$ 이 되어 압력 경계조건을 정확히 만족합니다. Plane strain에서 반경 변위는

$$u_r(r) = \frac{1+\nu}{E} \left[(1-2\nu)Ar + \frac{B}{r}\right]$$

로 계산합니다. 압력과 구속이 만나는 코너는 응력 특이점이 생길 수 있으므로, 이 검증에서는 매끄럽고 닫힌해가 명확한 내벽 반경 변위 $u_r(a)$ 를 주 판정량으로 사용합니다.

결과

내벽 반경 변위는 이론값과 0.25% 이내로 일치합니다. 메시를 세분했을 때 관측 수렴차수 $p_{obs}$ 는 약 1.8~2로, 매끄러운 변위장에서 기대하는 2차 수렴 거동과 일치합니다. 단일 메시의 작은 오차뿐 아니라 이론적인 속도로 참값에 접근한다는 점이 구현 정확도의 더 강한 증거입니다.

실무적 의미

압력용기, 유압 실린더, 베어링·부싱 압입, 회전자 슬리브처럼 두께 방향 응력구배가 중요한 문제의 기본 검증입니다. 얇은 벽 근사와 달리 내·외벽 응력을 별도로 평가해야 하는 모델에 직접 연결됩니다.

참고문헌

• MIT OpenCourseWare, Introduction to Structural Mechanics — “Thick-Walled Cylinder under Radial Pressure.”

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