대류 핀은 고체 내부의 전도와 표면에서 주변 유체로 빠져나가는 대류가 동시에 작용하는 문제입니다. 이 케이스는 고정온도, 단열, 대류의 세 경계조건과 열전도 구성식이 에너지 관점에서 일관되는지 검증합니다.

무엇을 검증하는가

• Fourier 열전도와 Newton 냉각법칙의 결합
• 고정온도(BASE), 대류(측면), 단열(팁) 경계조건
• 표면적과 대류계수에 따른 분포하중 조립
• 끝단 온도뿐 아니라 축방향 전체 온도 프로파일

문제 구성

일정한 단면적 $A_c$ 와 둘레 $P$ 를 가진 직선 핀을 사용합니다. BASE는 $T_b=400$ K, 측면 4면은 $h=169$ W/m²K와 $T_\infty=300$ K의 대류 조건이며, 팁의 열유속은 0인 단열 조건입니다. 재료 열전도율 $k$ 와 대류계수는 일정하고 복사 열전달은 무시합니다.

기준 해

초과온도 $\theta=T-T_\infty$ 를 정의하면 1차원 정상 핀 방정식은

$$\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0, \qquad m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}$$

입니다. $\theta(0)=T_b-T_\infty$ , $d\theta/dx|_{x=L}=0$ 을 적용하면

$$\frac{T(x)-T_\infty}{T_b-T_\infty} =\frac{\cosh[m(L-x)]}{\cosh(mL)}$$

을 얻습니다. 따라서 단열 팁의 온도는

$$T(L)=T_\infty+\frac{T_b-T_\infty}{\cosh(mL)}$$

입니다. 이 해는 전도만 또는 대류만 맞아서는 재현되지 않으므로 두 물리와 경계 적분을 함께 시험합니다.

결과

팁 온도는 이론값과 사실상 일치하며, 축방향 전 구간의 프로파일도 $\cosh$ 해와 0.1% 이내로 일치합니다. 한 점만 우연히 맞은 것이 아니라 온도장의 형상 전체가 일치한다는 점이 중요합니다.

실무적 의미

전동기 하우징, 냉각핀과 히트싱크의 방열 성능 평가에 연결되는 기본 검증입니다. 실제 자연·강제 대류에서는 $h$ 가 공간적으로 변할 수 있으므로, 이 케이스는 일정한 $h$ 조건에서 열 솔버 자체를 분리해 검증하는 역할을 합니다.

참고문헌

• MIT Unified Engineering, Heat Transfer From a Fin — 단열 팁의 온도분포 해.

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