1차원 정상 열전도는 열 솔버의 가장 기본적인 패치 테스트입니다. 내부 열원과 시간 변화가 없는 균일 재료에서는 온도가 정확한 직선이 되므로, 행렬 조립이나 Dirichlet 경계 처리에 작은 오류가 있어도 쉽게 드러납니다.

무엇을 검증하는가

• 정상 열전도 지배방정식과 Fourier 법칙
• 양단 고정온도(Dirichlet) 경계조건
• 선형 온도장의 정확한 재현
• 최소·최대·평균 온도 후처리

문제 구성

길이 $L$ 인 균일한 봉의 한쪽 끝을 $T_1=400$ K, 반대쪽 끝을 $T_2=300$ K로 고정합니다. 측면은 단열하고, 열전도율 $k$ 는 일정하며 내부 체적 열원은 없습니다.

기준 해

정상상태, 일정 물성, 무발열 조건의 1차원 열방정식은

$$\frac{d}{dx}\left(kA\frac{dT}{dx}\right)=0$$

입니다. $k$ 와 단면적 $A$ 가 일정하면 $d^2T/dx^2=0$ 이므로 온도는 다음 직선이 됩니다.

$$T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x$$

Fourier 법칙에 따른 열전달률도 위치와 무관한 상수입니다.

$$\dot Q=-kA\frac{dT}{dx}=kA\frac{T_1-T_2}{L}$$

따라서 중앙 $x=L/2$ 에서 정확히 350 K이고, 균일 간격 또는 체적평균 온도도 350 K가 됩니다.

결과

최저·최고·평균 온도가 이론값과 정확히 일치합니다. 선형 요소의 보간 공간에 기준 해 자체가 포함되므로, 정상적인 구현이라면 메시 크기와 무관하게 선형 온도장을 정확히 재현해야 합니다.

실무적 의미

벽과 판의 두께 방향 열류, 다층 열저항 문제로 확장하기 전의 기준선입니다. 복잡한 열해석이 비정상적인 결과를 낼 때 단위, 열전도율, 온도 경계와 부호 규약을 점검하는 최소 재현 케이스로도 사용할 수 있습니다.

참고문헌

• MIT Unified Engineering, Steady-State One-Dimensional Conduction.

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